Silsilələr
Bir silsilədə yeganə sual budur: növbəti addımı necə atırsan — toplayaraq, yoxsa vuraraq? Bütün düsturlar bu iki cavabdan çıxır.
Simulyasiya yüklənir…
Silsilənin növünü tanımaqn-ci həddCəm düsturları
Bir silsilədə yeganə sual budur: növbəti addımı necə atırsan — toplayaraq, yoxsa vuraraq? Bütün düsturlar bu iki cavabdan çıxır.
3, 7, 11, 15, … və 3, 6, 12, 24, … Hər ikisi 3-dən başlayır, hər ikisi artır, amma tamam ayrı iki dünyadır. Birincidə hər addımda eyni ədəd əlavə olunur, ikincidə hər addımda eyni ədədə vurulur. Silsilələr mövzusunun bütün düsturları bu bir fərqin nəticəsidir — və məsələnin yarısı düsturu tətbiq etmək deyil, hansı halda olduğunu görməkdir.
Ardıcıl hədləri çıx: 9 − 5 = 4, 13 − 9 = 4, 17 − 13 = 4. Fərq sabit qaldı, deməli arifmetik silsilədir və d = 4. Bu yoxlamanı həmişə çıxma ilə başla — çünki çıxma hər silsilədə işləyir, sadəcə arifmetik olmayanda sabit ədəd vermir.
Hər iki düsturda (n − 1) var, çünki birinci həddə çatmaq üçün heç bir addım atmırsan. 10-cu hədd 9 addım uzaqdadır, 10 yox. Silsilə məsələlərində ən çox rast gəlinən səhv məhz bu bir vahiddir.
| Düstur | Nə soruşur |
|---|---|
| aₙ = a₁ + (n − 1)d | Arifmetik: n-ci hədd |
| Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Arifmetik: ilk n həddin cəmi |
| aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ | Həndəsi: n-ci hədd |
| Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | Həndəsi: ilk n həddin cəmi |
| S = a₁/(1 − q), |q| < 1 | Həndəsi: sonsuz cəm |
Arifmetik silsilədə aₙ = a₁ + (n − 1)d düsturunu açsan, aₙ = dn + (a₁ − d) alırsan — yəni y = mx + b. Xətti funksiya modulunda bucaq əmsalını dəyişdir və d-nin qrafikdə nə olduğunu gör.
Xətti funksiyaBir silsilədə a₁ = 3 və a₄ = 24-dür. Bu silsilə arifmetikdirsə d neçədir, həndəsidirsə q neçədir?
0.999… = 1 bərabərliyi hiylə deyil, sonsuz cəm düsturunun birbaşa nəticəsidir. 0.9 + 0.09 + 0.009 + … həndəsi silsilədir: a₁ = 0.9, q = 0.1. Düsturu tətbiq et: S = 0.9 / (1 − 0.1) = 0.9 / 0.9 = 1. Yəni 0.999… ədədi 1-ə yaxınlaşmır — o, 1-dir; sadəcə eyni ədədin başqa yazılışıdır, necə ki ½ və 0.5 eynidir.
1 + ½ + ⅓ + ¼ + … silsiləsində hədlər sıfıra gedir, deməli cəm sonlu olmalıdır — elə deyilmi? Bu cəmin adı harmonik sıradır və cavab gözlədiyin kimi deyil. Nəyə bərabərdir və Nikola Orem bunu 14-cü əsrdə necə sübut etmişdi?